Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты»


Курс лекций Селищева А.С. «Производные денежные инструменты» www.selishchev.com

Последнее обновление 11.06.2009.


Лекция 13. Винеровские процессы и лемма Ито




Содержание


13.1. Марковское свойство ……………………………………………………………. 2

13.2. Стохастические процессы с непрерывным временем ………………………. 3

13.3. Процесс, описывающий изменение цены акции ……………………………... 8

13.4. Характеристики Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ……………………………………………………………………… 13

13.5. Лемма Ито …………………………………………………………………………13

13.6. Свойство логонормальности …………………………………………………… 16



Главные понятия


Стохастический процесс

Непрерывные переменные

Дискретные переменные

Лемма Ито

Марковский процесс

Винеровский процесс

Броуновское движение

Скорость дрейфа (коэффициент сноса)

Дисперсия (коэффициент диффузии)

Обобщенный винеровский процесс

Стохастический процесс Ито

Геометрическое броуновское движение


Если значения переменной непредсказуемо меняются во времени, молвят Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», что она подчиняются стохастическому процессу (stochastic process). Стохастический процесс с дискретным временем появляется, когда значения переменной исключительно в фиксированные моменты времени. Стохастический процесс с непрерывным временем обрисовывает поведение переменной, значения которой могут Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» изменяться в хоть какой момент. Не считая того, стохастические процессы образуют две категории: непрерывные переменные (continuous variable) и дискретные переменные (discrete variable). В первом случае переменная может принимать хоть какое значение из Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» определенного спектра, а во 2-м – только дискретные значения.

В данной лекции рассматривается стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной, описывающей изменение цены акции. Чтоб научиться оценивать опционы и поболее сложные деривативы Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», нужно отлично осознавать особенности этого процесса. На практике мы не можем интерпретировать изменение цены акции при помощи стохастического процесса с непрерывным временем и непрерывной переменной. Стоимость акции представляет собой дискретную величину Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» (к примеру, количество копеек), а ее конфигурации регистрируются исключительно в момент открытия биржи. Невзирая на это стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной представляет собой очень полезную модель.

Многие считают, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» теория стохастических процессов с непрерывным временем так сложна, что освоить ее могут только избранные. Это не так. Более сложным нюансом этой теории являются применяемые обозначения. Но поэтапный подход поможет преодолеть это препятствие Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». Не считая того, будет раскрыт смысл леммы Ито (Ito’s lemma) – центрального результата, на котором базирована вся теория оценки деривативов.


^ 13.1. Марковское свойство




Марковский процесс (Markov process) – это разновидность стохастического процесса, в каком Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» будущее значение переменной зависит только от ее конкретно предыдущего значения. Все другие значения переменной игнорируются. Все другие значения игнорируются. Как привило, считается стоимость акции описывается марковским процессом. Представим, что в реальный момент стоимость акции компании Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» А равна $1001. Прогнозы будущих значений не являются точными и должны быть выражены в определениях рассредотачивания вероятностей. Марковское свойство значит, что рассредотачивание вероятностей цены акции в определенный момент времени в Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дальнейшем не находится в зависимости от пути, который эта стоимость прошла в прошедшем.

Марковское свойство цены акции согласуются со слабенькой формой рыночной эффективности. Она утверждает, что текущая стоимость акции уже содержит внутри себя всю Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» информацию о его прошлых значениях. Если б это условие не производилось, то интерпретируя графики прошедших лет, спецы по техническому анализу извлекли бы доходы, превосходящие средний уровень. Но по сути у нас нет Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» практически никаких оснований утверждать, что это происходит по сути.

Конкретно конкурентность, царящая на рынке, гарантирует выполнение слабенького принципа рыночной эффективности. Стоимость акции пристально выслеживают тыщи инвесторов. Неважно какая попытка извлечь прибыли делает ситуацию Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», в какой стоимость акции, измеренная в хоть какой момент времени, отражает информацию о его прошедших значениях. Представим, что анализируя прошлые графики, инвесторы нашли конфигурацию, которая позволяет с вероятностью 65% предвещать Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» следующий рост цены акции. Как следует, найдя такую конфигурацию, инвесторы поторопятся брать акции, и спрос на их немедля увеличивается. Это сходу повлечет за собой рост текущей цены акции, и наблюдаемый эффект, а с Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ним и возможность извлечь прибыль пропадут.


^ 13.2. Стохастические процессы с непрерывным временем




Разглядим переменную, подчиняющуюся марковскому стохастическому процессу. Представим, что её текущее значение равно 10, а изменение течение года описывается функцией ø(0,1), где ø(μ,σ) – обычное рассредотачивание вероятностей Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ. Какое рассредотачивание вероятностей обрисовывает изменение этой переменной в течение 2-ух лет?

Изменение переменной через два года описывается суммой 2-ух обычных рассредотачиваний с нулевыми математическими ожиданиями и единичными стандартными Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» отклонениями. Так как переменная является марковской, эти рассредотачивания не зависят друг от друга. Складывая два независящих обычных рассредотачивания, мы получим обычное рассредотачивание, математическое ожидание которого равно сумме математических ожиданий Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» каждого из слагаемых, а дисперсия – сумме их дисперсий.1

Таким макаром, математическое ожидание конфигураций рассматриваемой переменной в протяжении 2-ух лет равно нулю, а дисперсия 2,0. Как следует, изменение значения переменной через два года является случайной величиной Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» с рассредотачиванием вероятностей ø(0,

Разглядим дальше изменение переменной за 6 месяцев. Дисперсия конфигураций этой переменной в течение 1-го года равна сумме дисперсий этих конфигураций в протяжении первых и вторых 6 месяцев. Представим, что эти Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дисперсии схожи. Тогда дисперсия конфигураций переменной в протяжении 6 месяцев равна 0,5, а стандартное отклонение – Как следует, рассредотачивание вероятностей конфигурации переменной в протяжении 6 месяцев равно ø(0,

Подобные рассуждения позволяют обосновать, что изменение переменной в протяжении Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» 3-х месяцев имеет рассредотачивание ø(0, Вообщем говоря, изменение переменной в протяжении временного периода, имеющего длину Т, описывается рассредотачиванием вероятностей ø(0, А именно, изменение переменной за очень маленький просвет времени, имеющий длину ΔТ, описывается рассредотачиванием вероятностей Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ø(0,

Квадратные корешки этих выражений могут показаться необычными. Они появляются из-за того, что при анализе марковского процесса дисперсии конфигураций переменной в поочередные моменты складываются, а стандартные отличия – нет. В нашем примере Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дисперсия конфигураций переменной в течение 1-го года равна 1,0, потому дисперсия конфигураций этой переменной в течение 2-ух лет равна 2,0, а через три года – 3,0. В то же время стандартные отличия конфигураций переменных через Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» два и три года равны и соответственно. Строго говоря, мы не должны гласить, что стандартное отклонение конфигураций переменной за один год равно 1,0 в год. Следует гласить, что оно равно «корню квадратному из единицы в год Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты»». Это разъясняет, почему величину неопределенности нередко считают пропорциональной квадратному корню из времени.


^ Винеровские процессы


Процесс, которому подчиняется рассмотренная выше переменная, именуется винеровским (Wiener process). Он представляет собой личный случай марковского Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» стохастического процесса, когда математическое ожидание конфигураций переменной равно нулю, а их дисперсия равна 1,0. Этот процесс обширно употребляется в физике для описания движений частички, участвующей в большенном количестве столкновений с молекулами (это явление именуется броуновским Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» движением (Brownian motion)).


^ Говоря формально, переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет последующие характеристики.


Свойство 1. Изменение Δz в протяжении малого промежутка времени Δt удостоверяет равенству:


(13.1)


где ε – случайная величина, подчиняющаяся стандартному нормальному рассредотачиванию Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ø (0,1).


Свойство 2. Величины Δz на 2-ух малых промежутках времени Δt являются независящими.


Из первого характеристики следует, что величина Δz имеет обычное рассредотачивание, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно а Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дисперсия равна Δt. 2-ое свойство значит, что величина z подчиняется марковскому процессу.

Разглядим повышение переменной z в протяжении относительно долгого периода времени Т. Это изменение можно обозначить как z(T) – z(0). Его можно Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» представить в виде суммы роста переменной z в протяжении N относительно малых промежутков времени, имеющих длину Δt. Тут





Как следует,


(13.2)


где εi, i = 1,2, … , N – случайные величины, имеющие рассредотачивание вероятностей ø(0,1). Из второго характеристики виненровского Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» процесса следует, что величины εi являются независящими друг от друга. Из выражения (13.2) следует, что случайная величина z(T) – z(0) имеет обычное рассредотачивание, математическое ожидание которого равно нулю, дисперсия равна NΔt Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» = T, а стандартное отклонение - Эти выводы согласуются с плодами, обозначенными выше.


Пример 13.1.

Представим, что значение z случайной переменной, подчиняющейся винеровскому процессу, в начальный момент времени равно 25, а время измеряется годами. В Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» конце первого года значение переменной имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным 1,0. В конце 5-ого года значение переменной имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», равным т.е. 2,236. Неопределенность значения переменной в определенный момент в дальнейшем, измеренная его стандартным отклонением, растет как квадратный корень из длины предсказуемого интервала.


В математическом анализе обширно употребляется переход к лимиту Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», когда величина конфигураций стремится к нулю. К примеру, при Δt → 0 величина Δx = aΔt преобразуется в величину dx = adt. При анализе стохастических процессов употребляются подобные обозначения. К примеру, при Δt → 0 описанный чуть повыше процесс Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» Δz стремится к винеровскому процессу dz.




На рис. 13.1-3 показано, как меняется линия движения переменной z при Δt→0. Направьте внимание на то, что этот график является «зазубренным». Это разъясняется тем, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», изменение переменной z за время Δt пропорционально величине а когда величина Δt становится малой, число намного больше, чем Δt. Благодаря этому, винеровский процесс обладает 2-мя интригующими качествами.


  1. Ожидаемая длина линии движения, которую проходит Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» переменная z в течение хоть какого промежутка времени, является нескончаемой.

  2. Ожидаемое количество совпадений переменной z с хоть каким определенным значением на любом промежутке времени является нескончаемым.








^ Обобщенный винеровский процесс


Скоростью дрейфа (drift rate), либо Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» коэффициентом сноса, стохастического процесса именуется средняя величина конфигурации переменной величины за единицу времени, а дисперсией (variance rate), либо коэффициентом диффузии – величина колебаний за единицу времени. Скорость дрейфа основного винеровского процесса dz, рассмотренного выше Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», равна нулю, а дисперсия равна 1,0. Нулевой дрейф значит, что ожидаемое значение переменной z в хоть какой момент времени равно ее текущему значению. Единичная дисперсия значит, что дисперсия конфигурации переменной z Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» на интервале времени Т равна его длине.

Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process) для переменной х можно найти через величину dz последующим образом.


(13.3)


где а и b – константы.

Чтоб осознать смысл уравнения 13.3, полезно Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» разглядеть два слагаемых в правой части по отдельности. Слагаемое a dt значит, что ожидаемая скорость дрейфа переменной х равна а единиц в единицу времени. Без второго члена уравнение 13.3. перевоплотится в уравнение





Откуда следует Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», что





Интегрируя это уравнение по времени, получаем





где х0 – значение переменной х в нулевой момент времени. Таким макаром, за период времени Т переменная х возрастает на величину at. Член bdz можно Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» рассматривать как шум, либо изменчивость линии движения, которую проходит переменная х. Величина этого шума в b раз больше значения винеровского процесса.





Стандартное отклонение винеровского процесса равно 1,0. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» bdz равно b. На маленьких промежутках времени Δt изменение Δх переменной х определяется уравнениями 13.1 и 13.3.




где ε, как и до этого, - случайная величина, имеющая стандартизированное обычное рассредотачивание. Итак, величина Δх имеет обычное рассредотачивание, математическое ожидание которого Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» равно aΔt, стандартное отклонение - , а дисперсия - Подобными рассуждениями можно показать, что изменение переменной х в течение случайного интервала времени Т имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием аТ, стандартным Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» отклонением и дисперсией Таким макаром, ожидаемая скорость дрейфа обобщенного винеровского процесса (13.3), т.е. среднее изменение дрейфа за единицу времени, равна а, а дисперсия, т.е. дисперсия переменной за единицу времени - Этот процесс изображен на Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» рис 13.4. проиллюстрируем произнесенное последующим примером.


Пример 13.2.

Разглядим ситуацию, в какой толика активов компании, вложенных в короткосрочные валютные эквиваленты (cash position), измеренные тыщами баксов, подчиняется обобщенному винеровскому процессу со скоростью дрейфа, равной 20 тыс. долл Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». в год, и дисперсией, равной 900 тыс. долл. в год. В 1-ый момент времени толика активов равна 50 тыс. долл. Через год эта толика активов будет иметь обычное рассредотачивание с математическим Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ожиданием, равным 70 тыс. баксов, и стандартным отклонением, равным т.е. 30 долл. Через 6 месяцев она будет иметь обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным 60 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным долл. Неопределенность, связанная с толикой активов Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», вложенных в короткосрочные эквиваленты наличности, измеренная при помощи стандартного отличия возрастает как корень квадратный из длины предсказуемого интервала. Направьте внимание на то, что эта толика активов может стать отрицательной (когда компания Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» делает займы).


^ Процесс Ито

Стохастическим процессом Ито (Ito process) именуется обобщенный винеровский процесс, в каком характеристики а и b являются функциями, зависящими от переменной х и времени t. Процесс Ито можно выразить последующей формулой Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты»:


(13.4)


И ожидаемая скорость дрейфа, и дисперсия этого процесса с течением времени меняются. За маленькой просвет времени от t до Δt переменная меняется от х до х + Δх, где





Это отношение содержит маленькую Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» натяжку. Она связана с тем, что мы считаем дрейф и дисперсию переменной х неизменными величинами, которые на интервале времени от t до Δt равны и соответственно.


^ 13.3. Процесс, описывающий изменение цены акции




В этом разделе Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дискуссируется стохастический процесс, описывающий изменение цены бездивидендной акции.

На 1-ый взор, естественно представить, что стоимость акции описывается обобщенным винеровским процессом, т.е. имеет постоянную скорость ожидаемого дрейфа и постоянную дисперсию. Но этот Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» процесс не учитывает очень принципиальные особенности цены акции. Дело в том, что ожидаемая инвестором доходность акций не находится в зависимости от ее цены. Если инвестор желает получить ожидаемую доходность на Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» уровне 14% годичных, а стоимость акции равна 10 долл., то при иных равных критериях (ceteris paribus) он захотит получить эти 14% годичных и при стоимости акции, равной 50 долл.

Непременно, догадка о постоянной скорости ожидаемого дрейфа Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» не применима и должна быть заменена предположением, что неизменным является ожидаемая доходность (т.е. ожидаемый дрейф, деленный на стоимость акции). Если S – это стоимость акции в момент времени t, то ожидаемая скорость Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дрейфа должна быть равной μS, где μ – некоторая константа.

Это означает, что через маленький просвет времени Δt ожидаемое значение, до которого подымается стоимость акции, равно μSΔt. Параметр μ – это ожидаемый уровень доходности Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» акции, выраженный в десятичном виде.

Если волатильность цены акции всегда равна нулю, из этой модели следует, что





Переходя к лимиту при Δt → 0, получаем, что





т.е.





Интегрируя это равенство от нуля до Т, приходим Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» к выводу, что


(13.5)


Из формулы (13.5) следует, что если дисперсия равна нулю, то стоимость акции за единицу времени возрастает на величину процентной ставки μ.

Очевидно, на практике стоимость акции подвержена колебаниям. Резонно представить, что изменчивость процентного дохода за Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» маленький период времени Δt остается неизменной независимо от цены акции. По другому говоря, инвестор не в состоянии точно предсказать доходность, какой бы ни была стоимость акции. Это означает, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» стандартное отклонение конфигураций цены акции за маленький период времени Δt должно быть пропорциональным самой стоимости акции. Это приводит к последующей модели:





и


(13.6)


Формулы (13.6) более обширно употребляются для моделирования конфигураций цены акции. Переменная Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» σ представляет собой волатильность цены, а μ – ожидаемая доходность. Модель (13.6) можно интерпретировать как предельный вариант случайного блуждания, представленного биноминальными деревьями, когда величина Δt стремится к нулю.


Пример 13.3

Проанализируем бездивидендную акцию. Допустим, что ее волатильность равна 30% годичных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», а доходность – 15%. Другими словами μ = 0,15% и σ = 0,30. Процесс, описывающий стоимость акции, имеет последующий вид:





Если S – стоимость акции в определенный момент времени, а ΔS – повышение цены акции в протяжении недлинного интервала времени Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», то:





где ε – случайная величина, имеющая стандартизованное обычное рассредотачивание. Разглядим интервал времени, равный одной неделе, т.е. 0,0192 года, и представим, что начальная стоимость акции равна 100 долл. Тогда Δt = 0,0192, S = 100 и





либо





Отсюда следует, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» стоимость растет величину, имеющую обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным 0,288 долл., и стандартным отклонением, равным 4,16 долл.


^ Модель с дискретным временем

Модель цены акции, описанная в прошлом разделе, именуется геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion). Версия этой Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» модели с дискретным временем имеет последующий вид.


(13.7)

либо


(13.8)


Тут переменная ΔS – это изменение цены акции S за маленькой период времени Δt, а ε – случайная величина, имеющая стандартизованное обычное рассредотачивание (т.е Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». обычное рассредотачивание с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением). Параметр μ представляет собой ожидаемую доходность за единицу, а параметр σ – это волатильность цены акции. Оба эти параметра числятся неизменными.

Левая часть равенства Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» (13.7) – это процентный доход, приобретенный благодаря акции за маленький период времени Δt. Слагаемое μΔt представляет собой ожидаемое значение этого процентного дохода, а - стохастическую компоненту процентного дохода. Дисперсия этой составляющие (а означает, и всего процентного Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» дохода) равна Это соответствует определению волатильности σ, данному в разделе 10.7. По другому говоря, параметр σ выбирается так, что представляет собой стандартное отклонение процентного дохода за маленький период времени Δt.

Из равенства (13.7) следует, что величина Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ΔS/S имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием, равным μΔt, и стандартным отклонением, равным По другому говоря,


ø (13.9)


^ Способ Монте-Карло

Моделирование стохастического процесса при помощи способа Монте-Карло – это процедура выбора случайных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» значений процесса. Мы применим ее для того, чтоб лучше разобраться в природе уравнения (13.6).

Допустим, что ожидаемая доходность акции равна 14% годичных, а стандартное отклонение доходности (т.е. волатильность) равно 20% годичных. Это означает, что μ = 0,14 и Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» σ = 0,20. Представим, что Δt = 0,01, т.е мы рассматриваем конфигурации цены акции на интервалах времени, длина которых равна 0,01 года либо 3,65 денька. Из равенства (13.8) получаем, что





либо


(13.10)


Линию движения цены акции можно смоделировать, повторно выбирая значения Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» ε из генеральной совокупы чисел, имеющих рассредотачивание ø (0,1), и подставляя их в равенство (11.10). Формула = СЛЧИС ( ) в программке Excel возвращает случайное число из отрезка от до единицы. Значения функции, оборотной к стандартному интегральному нормальному рассредотачиванию Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», рассчитываются при помощи функции НОРМАСТРАСП. Таким макаром, чтоб сгенерировать случайную подборку, состоящую из значений, подлежащих генеральной совокупы чисел, имеющей стандартное обычное рассредотачивание, нужно выполнить формулу = НОРМСТРАСП (СЛЧИС ()). Определенные результаты моделирования одной из вероятных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» траекторий приведены в табл. 13.1.


^ Таблица 13.1. Моделирование цены акции при μ = 0,14 и σ = 0,20 в протяжении 0,01 года


Стоимость акции сначала расчетного периода

Случайное значение ε

Изменение цены акции за расчетный период

20,000

0,52

0,236

20,236

1,44

0,611

20,847

-0,86

-0,329

20,518

1,46

0,628

21,146

-0,69

-0,262

20,883

-0,74

-0,280

20,603

0,21

0,115

20,719

-1,10

-0,427

20,292

0,73

0,325

20,617

1,16

0,507

21,124

2,56

1,111


Начальная стоимость акции считается равной 20 долл. Для первого периода Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» из генеральной совокупы чисел со стандартизованным обычным рассредотачиванием извлечено число ε = 0,52. Из формулы (13.10) следует, что изменение цены акции в протяжении первого периода равно





Как следует, сначала последующего периода времени стоимость акции равна 20,847 долл Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». и т.д. Направьте внимание на то, что значение ε независимы друг от друга, так как мы моделируем марковский процесс1.

В таблице 13.1 изготовлено предположение, что стоимость акции округляется до 0,001. Следует осознавать, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» в этой таблице продемонстрирован только один из бессчетных вероятных вариантов конфигурации цены акции. Другие случайные подборки приведут к другим траекториям цены акции. Для моделирования можно использовать малый интервал времени при любом маленьком значении Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» Δt. При Δt → 0 получаем безупречное описание стохастического процесса. Окончательная стоимость акции в таблице 13.1, равный 21,124, можно интерпретировать как случайную величину, извлеченную из генеральной совокупы цен акций, которые могут быть зафиксированы по истечении 10 расчетных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» интервалов времени (т.е. в конце одной десятой года). Повторяя вычисления, можно получить полное рассредотачивание вероятностей цены акции, которые могут быть зафиксированы в этот момент времени.


13.4. Характеристики




Процесс, моделирующий стоимость акции Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», содержат два параметра: μ и σ. Параметр μ представляет собой безпрерывно начисляемую доходность, полученную инвестором за год. Большая часть инвесторов стремятся к более высочайшей доходности, что подвергает их более высочайшему риску, значение μ должно зависеть от Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» величины риска2. Не считая того, этот параметр должен зависеть от уровня процентных ставок, установленных в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше доходность, ожидаемая инвестором от акции.

К счастью, параметр μ не Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» непременно рассматривать очень кропотливо, так как цена производных ценных бумаг, зависящих от акции, обычно, не находится в зависимости от μ. Параметр σ, представляющий из себя волатильность цены акции, напротив, имеет очень огромную значимость для оценки большинства Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» деривативов. Обычные значения параметра σ колеблется от 0,15 до 0,06 (т.е. от 15 до 60%).

Стандартное отклонение пропорционального конфигурации цены акции на маленьком промежутке времени Δt равно В первом приближении данная величина на относительно продолжительном промежутке времени Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» Т равна Это означает, что волатильность можно интерпретировать как стандартное отклонение конфигурации цены акции за один год. Как понятно, волатильность цены акции точно равна стандартному отклонению безпрерывно начисляемой доходности акции в Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» протяжении 1-го года.


13.5. Лемма Ито




Цена фондового опциона представляет собой функцию, зависящую от цены базисной акции и времени. Вообщем говоря, цена хоть какой производной ценной бумаги является функцией, зависящей от стохастических переменных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» и времени. Таким макаром, нужно направить внимание на некие характеристики функций, зависящих от стохастических аргументов. Принципиальный итог в этой области был получен математиком Киёси Ито (Kiyoshi Ito) в 1951 году. Он известен как лемма Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» Ито1.


(13.11)


где dz – винеровский процесс, а а и b – функции, зависящие от переменных x и t. Скорость дрейфа переменной x равна а, а дисперсия b2. Лемма Ито утверждает, что существует некоторая Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» функция G, зависящая от переменных x и t и подчиняющаяся стохастическому процессу


(13.12)


Тут dz – винеровский процесс из уравнения (13.11). Таким макаром, функция G подчиняется процессу Ито. Её дрейф равен





а дисперсия –





Серьезное подтверждение Леммы Ито выходит Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» за рамки нашего курса. В приложении 13.1 показано, что эту лемму можно интерпретировать как расширение узнаваемых результатов из дифференциального исчисления.

Ранее мы утверждали, что модель


(13.13)


где μ и σ – константы, отлично обрисовывает линию движения цены Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» акции. Из леммы Ито следует, что функция G, зависящая от цены акции S и времени t, подчиняется стохастическому процессу


(13.14)


Направьте внимание на то, что значения S и G зависят от 1-го и Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» такого же источника неопределенности dz. Данный факт очень важен для подтверждения результатов Блэка-Шоулза.


^ Применение к форвардным договорам

Для иллюстрации леммы Ито разглядим форвардный договор на бездивидендную акцию. Представим, что безрисковая процентная ставка является неизменной и Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» равна r для всех сроков погашения облигаций. Формула (5.1) утверждает, что





где F0 – форвардная стоимость в нулевой момент времени, S0 – стоимость спот в нулевой момент времени, а Т – срок деяния договора.

Нас интересует, что Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» произойдет с форвардной ценой со временем. Пусть F и S – форвардная стоимость и стоимость акции в некоторый момент времени t соответственно (t < T). Величины F и S связаны меж Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» собой последующим соотношением


(13.15)


Предполагая, что процесс описывающий поведение переменной S, определяется уравнением (13.13), мы можем применить лемму Ито и найти процесс, описывающий поведение переменной F.

Из равенства (13.15) следует, что





Используя уравнение (13.14), получаем, что процесс, описывающий поведение Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» переменной F, имеет последующий вид





Заменяя выражение переменной F, получим уравнение


(13.16)

Как и стоимость акции S, форвардная стоимость F подчиняется законами геометрического броуновского движения. Её скорость роста ожидаемой доходности равна μ – r , а не μ. Скорость роста Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» функции F представляет собой дополнительную доходность за счет цены акции S при безрисковой процентной ставке.

^ 13.6. Свойство логонормальности




Применим лемму Ито для вывода процесса, описывающего изменение величины ln S, когда S подчиняется процессу (13.13). Введем Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» функцию


G = lnS.


Так как





из равенства (13.14) следует, что процесс описывающий поведение функции, G, имеет последующий вид.





Так как характеристики μ и σ являются неизменными, из этого уравнения следует, что функция G = ln S Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» подчиняется обобщенному винеровскому процессу. Он имеет постоянную скорость дрейфа и постоянную дисперсию Как следует, изменение функции ln ^ S на интервале времени от нуля до момента Т имеет обычное рассредотачивание с математическим ожиданием Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» и дисперсией Отсюда следует, что


~ ø (13.18)


Другими словами


ø (13.19)


где ST – стоимость акции в момент T, S0 – стоимость акции в нулевой момент, а ø(m,s) – обычное рассредотачивание с математическим ожиданием m и стандартным отклонением s.

Уравнение Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» (13.19) указывает, что функция lnST является нормально распределенной. Молвят, что переменная имеет логнормальное рассредотачивание, если ее натуральный логарифм имеет обычное рассредотачивание. Итак, разработанная нами модель значит, что стоимость акции в момент Т имеет Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» логонормальное рассредотачивание. Стандартное отклонение логарифма цены акции равно Как обычно, оно пропорционально квадратному корню из длины расчетного периода времени.


^ Выводы

Стохастические процессы обрисовывают вероятностную эволюцию значений переменных во времени.

В марковском процессе для пророчества Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» грядущего значения переменной употребляется только ее текущее значение. В марковском процессе для пророчества грядущего значения переменной употребляется только ее текущее значение. Вся предшествующая история переменной и ее линия движения игнорируется Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты».

^ Винеровский процесс dz обрисовывает эволюцию нормально распределенной случайной величины. Дрейф этого процесса равен нулю, а дисперсия равна 1,0 за единицу времени. Это означает, что если в нулевой момент времени переменная имела значение х0, то в Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» момент Т она будет иметь обычное рассредотачивание с математическим ожиданием х0 и стандартным отклонением

^ Обобщенный винеровский процесс обрисовывает эволюцию нормально распределенной переменной. Его дрейф равен а за единицу времени, где Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» а и b – константы. Это, как и до этого, значит, что если в нулевой момент времени переменная имела значение то в момент Т она будет иметь обычное рассредотачивание с математическим ожиданием и стандартным отклонением Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты»

^ Процесс Ито – это стохастический процесс, у которого скорость дрейфа и дисперсия переменной х может зависеть от самой переменной х во времени. Изменение переменной х за очень маленький период времени отлично Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» аппроксимируется обычным рассредотачиванием, но на более длительных интервалах времени отличается от обычного.

Чтоб осознать суть стохастического процесса, можно применить моделирование случайной переменной. Для этого анализируемый интервал времени нужно разбить на огромное количество Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» малеханьких расчетных интервалов и сгененировать случайные линии движения. Это позволяет оценить будущее рассредотачивание вероятностей анализируемой переменной.

Лемма Ито позволяет вычислить стохастический процесс, зависящий от поведения функции, аргумент которой определяется стохастическим процессом Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», зависящего, в свою очередь, от самой переменной. Как будет показано в лекции 12, лемма Ито играет гигантскую роль в теории оценки производных ценных бумаг. Главным в этой лемме является факт, что винеровский процесс dz, лежащий Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» в базе стохастического процесса, определяющего поведение переменной, точно совпадает с винеровским процессом, от которого зависит стохастический процесс, определяющий поведение функции.

Обычно считают, что стоимость акции отлично описывается геометрическим броуновским движением. В данном Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» случае процентный доход инвесторов, приобретенный от акции за маленький период времени, имеет обычное рассредотачивание, а процентные доходы, приобретенные в течение различных и непересекающихся интервалов времени, не зависят друг от друга. Стоимость акции Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», предсказуемая на будущий момент времени, имеет логонормальное рассредотачивание. Модель Блэка-Шоулза, описываемая в последующей лекции, базирована на предположении, что стоимость акции подчиняется законам геометрического броуновского движения.








  1. Адельмейер М. Опционы колл Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» и оков. М. 2004.

  2. Балабушкин А.Н. Опционы и фьючерсы. М 1996.

  3. Буренин А.Н. Задачки с решениями по рынку ценных бумаг, срочному рынку и риск-менеджменту. М. 2006.

  4. Буренин А.Н. Рынки производных денежных Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» инструментов. М. 1996.

  5. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных денежных инструментов. М. 1998.

  6. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М. 1995.

  7. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотичные и погодные производные Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». М. 2005.

  8. Вейсвеллер Р. Арбитраж. М. 1995.

  9. Галанов В.А. Производные инструменты срочного рынка. М. 2002.

  10. Де Ковни Ш., Таки К. Стратегия хеджирования. М. 1996.

  11. Ибрагимова Л.Ф. Рынки срочных сделок. М. 1999.

  12. Иванов К. Фьючерсы и опционы (механизм Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» сделок). М. 1993.

  13. Пробирок Р.У. Денежные деривативы. М. 1997.

  14. Криничанский К.В. Рынок ценных бумаг. М. 2007.

  15. Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. М. 2003.

  16. Михайлов Д.М. Современные долговые и денежные производные инструменты Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» мирового рынка ссудных капиталов. М. 1998.

  17. Рубцов Б.Б. Современные фондовые рынки. М. 2007.

  18. Салыч Г.Г. Опционные, фьючерсные и форвардные договоры: сверхприбыльные инвестиции в период инфляции. М. 1994.

  19. Сафронова Т.Ю. Биржевая торговля Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» производными инструментами. М. 2000.

  20. Томсетт М. Торговля опционами. М. 2001.

  21. Фельдман А.Б. Базы рынка производных ценных бумаг. М. 1996.

  22. Фельдман А.Б. Производные денежные и товарные инструменты. М. 2003.

  23. Халл Дж. К. Опционы, фьючерсы Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» и другие производные денежные инструменты. 6-е изд. М. 2007.

  24. Чесноков А.С. Вкладывательная стратегия, опционы и фьючерсы. М. 1993.

  25. Чикагская торговая палата. Коммерческая стратегия. М. 1993.

  26. Шарп У.Ф., Александер Г. Дж. Бэйли Дж. В. Инвестиции. М Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты». 1999.

  27. Шварц Ф. Биржевая деятельность Запада: фьючерсные и фондовые биржи, система работы и метод анализа. М. 1992.

1 Статистические характеристики ретроспективных значений курса акций компании А не являются совсем никчемными. С помощью их можно найти Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» свойства стохастического процесса, описывающего конфигурации курса акций (к примеру, его волатильности). Мы только желаем выделить, что для пророчества последующего курса акций употребляется не вся его история, а только последнее Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты» по времени значение.

1 Дисперсия рассредотачивания вероятностей равна квадрату его стандартного отличия. Как следует, дисперсия конфигураций рассматриваемой переменной в течение года равна 1,0.

1 На практике, как обозначено в разделе 17.6, удобнее генерировать подборку значений ln S Курс лекций Селищева А. С. «Производные финансовые инструменты», а не S.

2 Поточнее, величина μ находится в зависимости от той части риска, которую нереально диверсифицировать.

1 Ito K. On Stochastic Differential Equations //Memoirs. American Mathematical Society. 4 (1951). P. 1-51.





kursi-povisheniya-kvalifikacii-konkurs-konkurs-upravlenie-obrazovaniya-na-municipalnom-urovne-izdanie-sbornika-statej-i-materialov-po-teme-assamblei.html
kursi-povisheniya-kvalifikacii-seminari-stazhirovki.html
kursi-professionalnoe-narashivaniya-nogtej-dizajn-rospis-manikyur-pedikyur.html